Родился 21 октября (3 ноября) 1913 года в деревне Колосы ныне Рогачевского района Гомельской области Белоруссии в крестьянской семье. Белорус. В 1930 году переехал в Ленинград, где работал слесарем на заводе «Электрик». Окончил 1 курс механического института.
В Военно-Морском Флоте с 1934 года. В 1938 году окончил Севастопольское военно-морское артиллерийское училище имени ЛКСМУ. Прибыл на Балтийский флот. Участвовал в войне с Финляндией 1939—1940 годов. Член ВКП(б)/КПСС с 1940 года.
В боях Великой Отечественной войны с 1941 года. Воевал на Краснознамённом Балтийском флоте. Командир береговой артиллерийской батареи. Участник героической обороны Ленинграда. За мужество проявленные в боях под Нарвой был награждён орденом Отечественной войны 1-й степени. В 1944 году был переведён на Черноморский флот, а в мае 1945 года — на Тихоокеанский флот.
Участник советско-японской войны 1945 года.
Офицер-оператор штаба береговой обороны (Петропавловловская ВМБ, Тихоокеанский флот) майор Почтарёв во время Курильской десантной операции был назначен командиром сводного батальона морской пехоты. 18 августа 1945 года батальон под его командованием успешно высадился на остров Шумшу (Курильские острова), захватил прибрежные оборонительные сооружения и смело начал продвигаться в глубину обороны противника.
Руководимое майором Почтарёвым подразделение захватило штаб японского батальона и принудил к капитуляции в несколько раз превосходящие силы врага. В боях майор Почтарев показывал личный пример бесстрашия и мужества, действовал смело и решительно, не один раз во главе батальона ходил в атаку на врага. Был ранен, но остался в строю.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 сентября 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с японскими милитаристами и проявленные при этом мужество и героизм, майору Почтарёву Тимофею Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны продолжал службу в ВМФ СССР. В 1955 году окончил Военно-морскую академию. С 1957 года полковник Т. А. Почтарёв — в запасе.
Жил в городе Сестрорецк ныне администрации Санкт-Петербурга. Умер 18 сентября 1992 года.
Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степени, Красной Звезды, медалями.
В городе Рогачёв Гомельской области на Аллее Героев в Пионерском парке установлен памятный знак Т. А. Почтарёву.
